统计学系列条目概率論
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文氏图
樹形圖
查论编
在概率论中, 对定义在相同样本空间[1]的两个随机变量
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
，其联合分布是同时对于
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
的概率分布。
离散随机变量的联合分布[编辑]
对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为
P
r
(
X
=
x
&
Y
=
y
)
{\displaystyle Pr(X=x\,\&\,Y=y)}
，即
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
Y
=
y
|
X
=
x
)
P
(
X
=
x
)
=
P
(
X
=
x
|
Y
=
y
)
P
(
Y
=
y
)
.
{\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}
因为是概率分布函数，所以必须有
∑
x
∑
y
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
1.
{\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}
连续随机变量的联合分布[编辑]
类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}
，其中
f
Y
|
X
(
y
|
x
)
{\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}
和
f
X
|
Y
(
x
|
y
)
{\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}
分别代表
X
=
x
{\displaystyle X=x}
时
Y
{\displaystyle Y}
的条件分布以及
Y
=
y
{\displaystyle Y=y}
时
X
{\displaystyle X}
的条件分布；
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
和
f
Y
(
y
)
{\displaystyle f_{Y}(y)}
分别代表
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
的边缘分布。
同样地，因为是概率分布函数，所以必须有
∫
x
∫
y
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
y
d
x
=
1.
{\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}
独立变量的联合分布[编辑]
對於兩相互獨立的事件
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
及
P
(
Y
)
{\displaystyle P(Y)}
，任意x和y而言有离散随机变量
P
(
X
=
x
a
n
d
Y
=
y
)
=
P
(
X
=
x
)
⋅
P
(
Y
=
y
)
{\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}
，或者有连续随机变量
p
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
p
X
(
x
)
⋅
p
Y
(
y
)
{\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}
。
多元联合分布[编辑]
2元联合分布可以推广到任意多元的情况
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
f
X
1
,
…
,
X
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
f
X
n
|
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
n
|
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
f
X
1
,
…
,
X
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
.
{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}
相关条目[编辑]
耦合 (概率)
外部链接[编辑]
Joint continuous density function. PlanetMath.
查论编概率分布（列表（英语：List of probability distributions））離散單變量有限支集
本福特定律
伯努利分布
Β-二项式分布
二項式分布
categorical（英语：categorical distribution）
超几何分布
negative（英语：Negative hypergeometric distribution）
Poisson binomial（英语：Poisson binomial distribution）
Rademacher（英语：Rademacher distribution）
孤子分布
離散型均勻分佈
齊夫定律
Zipf–Mandelbrot（英语：Zipf–Mandelbrot law）
無限支集
beta negative binomial（英语：beta negative binomial distribution）
Borel（英语：Borel distribution）
Conway–Maxwell–Poisson（英语：Conway–Maxwell–Poisson distribution）
discrete phase-type（英语：Discrete phase-type distribution）
Delaporte（英语：Delaporte distribution）
extended negative binomial（英语：extended negative binomial distribution）
Flory–Schulz（英语：Flory–Schulz distribution）
Gauss–Kuzmin（英语：Gauss–Kuzmin distribution）
幾何分佈
对数分布
mixed Poisson（英语：mixed Poisson distribution）
负二项分布
Panjer（英语：(a,b,0) class of distributions）
parabolic fractal（英语：parabolic fractal distribution）
卜瓦松分布
Skellam（英语：Skellam distribution）
Yule–Simon（英语：Yule–Simon distribution）
zeta（英语：zeta distribution）
連續單變量紧支集
arcsine（英语：Arcsine distribution）
ARGUS（英语：ARGUS distribution）
Balding–Nichols（英语：Balding–Nichols model）
Bates（英语：Bates distribution）
Β分布
beta rectangular（英语：Beta rectangular distribution）
continuous Bernoulli（英语：Continuous Bernoulli distribution）
歐文–賀爾分佈
Kumaraswamy（英语：Kumaraswamy distribution）
logit-normal（英语：Logit-normal distribution）
noncentral beta（英语：Noncentral beta distribution）
PERT（英语：PERT distribution）
raised cosine（英语：Raised cosine distribution）
reciprocal（英语：Reciprocal distribution）
三角形分布
U-quadratic（英语：U-quadratic distribution）
連續型均勻分布
維格納半圓分布
半無限區間支集
Benini（英语：Benini distribution）
Benktander 1st kind（英语：Benktander type I distribution）
Benktander 2nd kind（英语：Benktander type II distribution）
beta prime（英语：Beta prime distribution）
Burr（英语：Burr distribution）
chi（英语：chi distribution）
卡方分佈
noncentral（英语：Noncentral chi-squared distribution）
inverse（英语：Inverse-chi-squared distribution）
scaled（英语：Scaled inverse chi-squared distribution）
Dagum（英语：Dagum distribution）
Davis（英语：Davis distribution）
爱尔朗分布
hyper（英语：Hyper-Erlang distribution）
指数分布
亚指数分布
logarithmic（英语：Exponential-logarithmic distribution）
F-分布
noncentral（英语：Noncentral F-distribution）
folded normal（英语：folded normal distribution）
Fréchet（英语：Fréchet distribution）
伽玛分布
generalized（英语：Generalized gamma distribution）
inverse（英语：Inverse-gamma distribution）
gamma/Gompertz（英语：Gamma/Gompertz distribution）
Gompertz（英语：Gompertz distribution）
shifted（英语：shifted Gompertz distribution）
half-logistic（英语：Half-logistic distribution）
half-normal（英语：half-normal distribution）
Hotelling's T-squared（英语：Hotelling's T-squared distribution）
逆高斯分布
广义逆高斯分布
柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验
Lévy（英语：Lévy distribution）
log-Cauchy（英语：log-Cauchy distribution）
log-Laplace（英语：log-Laplace distribution）
log-logistic（英语：log-logistic distribution）
对数正态分布
log-t（英语：log-t distribution）
Lomax（英语：Lomax distribution）
matrix-exponential（英语：matrix-exponential distribution）
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
Maxwell–Jüttner（英语：Maxwell–Jüttner distribution）
Mittag-Leffler（英语：Mittag-Leffler distribution）
Nakagami（英语：Nakagami distribution）
帕累托分布
phase-type（英语：Phase-type distribution）
Poly-Weibull（英语：Poly-Weibull distribution）
瑞利分布
relativistic Breit–Wigner（英语：Relativistic Breit–Wigner distribution）
莱斯分布
truncated normal（英语：truncated normal distribution）
type-2 Gumbel（英语：type-2 Gumbel distribution）
韦伯分布
discrete（英语：discrete Weibull distribution）
Wilks's lambda（英语：Wilks's lambda distribution）
无限区间支集
柯西分布
exponential power（英语：Generalized normal distribution）
費雪z分佈
Kaniadakis κ-Gaussian（英语：Kaniadakis Gaussian distribution）
Gaussian q（英语：Gaussian q-distribution）
generalized normal（英语：Generalized normal distribution）
generalized hyperbolic（英语：Generalised hyperbolic distribution）
geometric stable（英语：geometric stable distribution）
耿贝尔分布
Holtsmark（英语：Holtsmark distribution）
hyperbolic secant（英语：hyperbolic secant distribution）
Johnson's SU（英语：Johnson's SU-distribution）
朗道分布
拉普拉斯分布
asymmetric（英语：Asymmetric Laplace distribution）
logistic（英语：logistic distribution）
noncentral t（英语：Noncentral t-distribution）
正态分布
normal-inverse Gaussian（英语：normal-inverse Gaussian distribution）
skew normal（英语：Skew normal distribution）
slash（英语：Slash distribution）
稳定分布
司徒頓t分布
Tracy–Widom（英语：Tracy–Widom distribution）
variance-gamma（英语：Variance-gamma distribution）
福格特函数
可变类型支集
generalized chi-squared（英语：Generalized chi-squared distribution）
generalized extreme value（英语：generalized extreme value distribution）
generalized Pareto（英语：Generalized Pareto distribution）
Marchenko–Pastur（英语：Marchenko–Pastur distribution）
Kaniadakis κ-exponential（英语：Kaniadakis Exponential distribution）
Kaniadakis κ-Gamma（英语：Kaniadakis Gamma distribution）
Kaniadakis κ-Weibull（英语：Kaniadakis Weibull distribution）
Kaniadakis κ-Logistic（英语：Kaniadakis Logistic distribution）
Kaniadakis κ-Erlangl（英语：Kaniadakis Erlang distribution）
q-exponential（英语：q-exponential distribution）
q-Gaussian（英语：q-Gaussian distribution）
q-Weibull（英语：q-Weibull distribution）
shifted log-logistic（英语：Shifted log-logistic distribution）
Tukey lambda（英语：Tukey lambda distribution）
混合單變量連續離散
修正高斯分佈（英语：Rectified Gaussian distribution）
联合分布
Discrete:
Ewens（英语：Ewens's sampling formula）
multinomial（英语：multinomial distribution）
Dirichlet（英语：Dirichlet-multinomial distribution）
negative（英语：negative multinomial distribution）
Continuous:
狄利克雷分布
generalized（英语：Generalized Dirichlet distribution）
multivariate Laplace（英语：Multivariate Laplace distribution）
多元正态分布
multivariate stable（英语：Multivariate stable distribution）
multivariate t（英语：Multivariate t-distribution）
normal-gamma（英语：normal-gamma distribution）
inverse（英语：Normal-inverse-gamma distribution）
随机矩阵
LKJ（英语：Lewandowski-Kurowicka-Joe distribution）
矩阵正态分布
matrix t（英语：matrix t-distribution）
matrix gamma（英语：matrix gamma distribution）
inverse matrix gamma（英语：inverse matrix gamma distribution）
威沙特分佈
normal（英语：normal-Wishart distribution）
逆威沙特分佈
normal-inverse（英语：normal-inverse-Wishart distribution）
定向統計（英语：Directional statistics）
循環單變量定向統計（英语：Directional statistics）
圆均匀分布
univariate von Mises（英语：von Mises distribution）
wrapped normal（英语：Wrapped normal distribution）
wrapped Cauchy（英语：Wrapped Cauchy distribution）
wrapped exponential（英语：Wrapped exponential distribution）
wrapped asymmetric Laplace（英语：Wrapped asymmetric Laplace distribution）
wrapped Lévy（英语：Wrapped Lévy distribution）
球形雙變量
Kent（英语：Kent distribution）
環形雙變量
bivariate von Mises（英语：bivariate von Mises distribution）
多變量
von Mises–Fisher（英语：Von Mises–Fisher distribution）
Bingham（英语：Bingham distribution）
退化分布和奇異分佈（英语：Singular distribution）
退化
狄拉克δ函数
奇異
康托尔分布
其它
Circular（英语：Circular distribution）
复合泊松分布
elliptical（英语：Elliptical distribution）
exponential（英语：Exponential family）
natural exponential（英语：Natural exponential family）
location–scale（英语：location–scale family）
Maximum entropy（英语：Maximum entropy probability distribution）
Mixture（英语：Mixture distribution）
Pearson（英语：Pearson distribution）
Tweedie（英语：Tweedie distribution）
Wrapped（英语：Wrapped distribution）
分类
维基共享
^ Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080 （Eng）. 请检查|access-date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)