从硕士的时候，偶尔在论文中，看到拓扑空间这个名词，但没有真正理解它是什么意思，现在抽出时间总结一下。

拓扑空间有时候也直接称为拓扑，一个集合

X

X

X 的拓扑

τ

\tau

τ 表示针对该集合内元素的一些组合满足下列条件：

空集与

X

X

X 本身属于

τ

\tau

τ

τ

\tau

τ 中任意元素的交集属于

τ

\tau

τ

τ

\tau

τ 中任意元素的并集属于

τ

\tau

τ

因此，拓扑可以理解为一个给定集合内元素所组成的，另外一个满足上面三个条件的集合。

下面，用维基百科的一个图形例子来说明。

给定的集合

X

=

{

1

,

2

,

3

}

X=\{1,2,3\}

X={1,2,3}，下面的六个新集合中，最后两个并不属于

X

X

X 的拓扑。

左上的集合为 {{1, 2, 3}}，满足三个条件右上的集合为 {1，{1，2，3}}，满足三个条件中左的集合为 {{1}，{2}，{1，2}，{1，2，3}}，满足三个条件中右的集合为 {{1，2}，{2，3}，{2}，{1，2，3}}，满足三个条件左下的集合为 {{2}，{3}，{1，2，3}} 不满足 {2} 与 {3} 的并集属于该拓扑集合右下的集合为 {{1，2}，{2，3}，{1，2，3}} 不满足 {1，2} 与 {2，3} 的交集属于该拓扑集合

注：向量空间也是拓扑空间，但是拓扑空间不一定是向量空间。因为向量空间的定义要更严格些，要满足那八个公理（关于向量加法与乘法的结合律分配律等）。